以下是对您问题的具体分析：
《中华人民共和国劳动合同法》第五十条【证明出具义务】
“用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。劳动者应当按照双方约定，办理工作交接。用人单位依照本法有关规定应当向劳动者支付经济补偿的，在办结工作交接时支付。用人单位对已经解除或者终止的劳动合同的文本，至少保存二年备查。”
《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第二十四条【证明内容】
“用人单位出具的解除、终止劳动合同的证明，应当写明劳动合同期限、解除或者终止劳动合同的日期、工作岗位、在本单位的工作年限。”
结论：应当由出具离职证明的用人单位（即您的原单位）负责更正。
建议您按照以下步骤，逐步推进问题的解决：
收集证据：整理好能证明正确工作起止日期的材料，如：劳动合同、工资银行流水、社保缴费记录、工作证、内部通讯记录、考勤记录等。这些是您提出更正要求的有力支撑。
正式沟通：携带上述证据，与原单位的人力资源部门或相关负责人进行正式沟通。明确指出证明中的错误，并提供证据予以证明，要求其出具更正后的、内容准确的离职证明。建议通过邮件、微信等留下书面沟通记录。
书面请求：如果口头沟通无效，应发送正式的书面函件（可通过快递邮寄，保留邮寄凭证），再次明确提出更正要求，并设定一个合理的答复期限（如3-5个工作日）。函件中应附上您的证据副本，并告知其不更正可能产生的法律后果。
寻求行政介入：若原单位在收到书面请求后仍不更正，您可以向用人单位所在地的劳动监察部门投诉举报。劳动监察部门有权责令用人单位限期改正。
申请劳动仲裁：如行政途径仍无法解决，您可以向用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。请求事项应为“请求裁决被申请人（原单位）出具内容准确的离职证明”。仲裁裁决具有法律约束力。
总结建议：离职证明日期错误的责任在于原单位。您应首先收集证据，与原单位正式沟通要求更正；如沟通无效，可逐步升级至书面函件、行政投诉乃至劳动仲裁。
